Ensembles de nombres et calculs

Les ensembles de nombres

En mathématiques, les nombres sont classés dans des ensembles selon leurs propriétés. C'est un peu comme des boîtes qui s'emboîtent les unes dans les autres : la plus petite est contenue dans la suivante, et ainsi de suite.

---

1. Les nombres entiers naturels \(\mathbb{N}\)

C'est l'ensemble le plus simple. Il contient les nombres qu'on utilise pour compter :

Ce qu'il faut retenir :

• Le plus petit élément est 0
• Il n'y a pas de plus grand élément (on peut toujours ajouter 1)
• Il n'y a pas de nombres négatifs dans \(\mathbb{N}\)
• Il n'y a pas de virgule dans ces nombres

Exemples : \(0\), \(1\), \(42\), \(1000\) sont dans \(\mathbb{N}\).

Contre-exemples : \(-3\), \(2.5\), \(\frac{1}{3}\) ne sont PAS dans \(\mathbb{N}\).

---

2. Les nombres entiers relatifs \(\mathbb{Z}\)

On ajoute maintenant les nombres négatifs aux entiers naturels :

La lettre \(\mathbb{Z}\) vient de l'allemand Zahlen qui signifie « nombres ».

Ce qu'il faut retenir :

• \(\mathbb{Z}\) contient tous les nombres entiers, positifs ET négatifs
• Tout nombre de \(\mathbb{N}\) est aussi dans \(\mathbb{Z}\) (par exemple \(5 \in \mathbb{N}\) et \(5 \in \mathbb{Z}\))

Exemples : \(-7\), \(-1\), \(0\), \(3\), \(100\) sont dans \(\mathbb{Z}\).

Contre-exemples : \(2.5\), \(\frac{1}{3}\), \(\sqrt{2}\) ne sont PAS dans \(\mathbb{Z}\).

---

3. Les nombres rationnels \(\mathbb{Q}\)

Ce sont tous les nombres qu'on peut écrire sous forme de fraction :

\(\mathbb{Z}^*\) signifie les entiers relatifs sauf 0 (car on ne peut pas diviser par 0 !).

Ce qu'il faut retenir :

• Tout nombre qui s'écrit sous forme de fraction est rationnel
• Les nombres décimaux (nombre fini de chiffres après la virgule) sont rationnels : \(0.75 = \frac{3}{4}\)
• Les nombres avec une partie décimale qui se répète sont aussi rationnels : \(0.333... = \frac{1}{3}\)
• Un entier est toujours rationnel : \(5 = \frac{5}{1}\)

Exemples de nombres rationnels :

• \(\frac{3}{4} = 0.75\)
• \(\frac{1}{3} = 0.333...\)
• \(-\frac{7}{2} = -3.5\)
• \(2 = \frac{2}{1}\)

---

4. Les nombres réels \(\mathbb{R}\)

C'est l'ensemble de TOUS les nombres. Il regroupe les rationnels et les irrationnels.

Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut PAS s'écrire comme une fraction. Sa partie décimale est infinie et ne se répète jamais.

Exemples célèbres de nombres irrationnels :

• \(\sqrt{2} = 1.41421356...\)
• \(\pi = 3.14159265...\)
• \(\sqrt{3} = 1.73205080...\)

---

5. L'inclusion des ensembles (la règle d'or !)

Les ensembles s'emboîtent comme des poupées russes :

Cela signifie :

• Tout entier naturel est aussi un entier relatif
• Tout entier relatif est aussi un rationnel
• Tout rationnel est aussi un réel

Astuce pour les contrôles : Quand on vous demande à quels ensembles appartient un nombre, commencez par le plus petit ensemble possible et remontez !

| Nombre | \(\mathbb{N}\) | \(\mathbb{Z}\) | \(\mathbb{Q}\) | \(\mathbb{R}\) | |--------|:-:|:-:|:-:|:-:| | \(7\) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | | \(-3\) | ✗ | ✓ | ✓ | ✓ | | \(\frac{2}{5}\) | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ | | \(\sqrt{5}\) | ✗ | ✗ | ✗ | ✓ |

Règles de calcul et priorités des opérations

Quand une expression contient plusieurs opérations, il faut les effectuer dans un ordre précis. Si on ne respecte pas cet ordre, on obtient un résultat faux !

---

1. L'ordre des priorités (à connaître par cœur !)

| Priorité | Opération | Exemple | |:--------:|-----------|---------| | 1️⃣ | Parenthèses | \((3 + 2) \times 4 = 5 \times 4 = 20\) | | 2️⃣ | Puissances | \(2^3 = 8\) | | 3️⃣ | Multiplication et division | \(3 \times 4 = 12\) | | 4️⃣ | Addition et soustraction | \(3 + 4 = 7\) |

Astuce mnémotechnique : Pensez à P-P-M-A (Parenthèses, Puissances, Multiplication, Addition).

---

2. Exemples détaillés

Exemple 1 : Calculer \(3 + 2 \times 5\)

⚠️ Erreur fréquente : calculer \(3 + 2 = 5\) puis \(5 \times 5 = 25\). C'est FAUX !

✅ Bonne méthode : la multiplication est prioritaire :

Exemple 2 : Calculer \(4 + 3 \times 2^2 - 1\)

On suit l'ordre : 1. Puissance : \(2^2 = 4\) 2. Multiplication : \(3 \times 4 = 12\) 3. Addition/soustraction : \(4 + 12 - 1 = 15\)

---

3. Les règles des signes

| Opération | Résultat | Exemple | |-----------|:--------:|---------| | \((+) \times (+)\) | \(+\) | \(3 \times 2 = 6\) | | \((+) \times (-)\) | \(-\) | \(3 \times (-2) = -6\) | | \((-) \times (+)\) | \(-\) | \((-3) \times 2 = -6\) | | \((-) \times (-)\) | \(+\) | \((-3) \times (-2) = 6\) |

Astuce : Même signe → résultat positif. Signes différents → résultat négatif.

---

4. Les puissances

Les règles essentielles :

| Règle | Formule | Exemple | |-------|---------|---------| | Puissance 0 | \(a^0 = 1\) (si \(a \neq 0\)) | \(5^0 = 1\) | | Puissance négative | \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) | \(2^{-3} = \frac{1}{8}\) | | Produit | \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) | \(2^3 \times 2^4 = 2^7\) | | Quotient | \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) | \(\frac{5^6}{5^2} = 5^4\) | | Puissance de puissance | \((a^m)^n = a^{m \times n}\) | \((3^2)^4 = 3^8\) |

⚠️ Piège classique : \((-2)^2 = 4\) mais \(-2^2 = -4\). Les parenthèses changent tout !

---

5. Les fractions

Additionner des fractions : il faut le même dénominateur !

Exemple : \(\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}\)

Multiplier des fractions : on multiplie en ligne :

Diviser par une fraction : on multiplie par l'inverse :

Exemple : \(\frac{3}{5} \div \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{2} = \frac{21}{10}\)

Astuce : Pensez toujours à simplifier en divisant par le PGCD.