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Ensembles de nombres et calculs

📐 Mathématiques Seconde

Nombres entiers, rationnels, réels. Calculs et priorités.

Les ensembles de nombres

Les ensembles de nombres

Les nombres entiers naturels \(\mathbb{N}\)

L'ensemble des nombres entiers naturels est :
\(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, ...\}\)

Les nombres entiers relatifs \(\mathbb{Z}\)

L'ensemble des entiers relatifs inclut les négatifs :
\(\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}\)

Les nombres rationnels \(\mathbb{Q}\)

Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction \(\frac{a}{b}\) avec \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{Z}^*\).

Exemples : \(\frac{3}{4}\), \(-\frac{7}{2}\), \(0.75\), \(1.333...\)

Les nombres réels \(\mathbb{R}\)

Les nombres réels regroupent tous les nombres : rationnels et irrationnels.

Exemples d'irrationnels : \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(\sqrt{3}\)

Inclusion des ensembles

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)

Règles de calcul et priorités

Règles de calcul

Priorités des opérations

1. Parenthèses (on calcule d'abord ce qui est entre parenthèses) 2. Puissances 3. Multiplications et divisions (de gauche à droite) 4. Additions et soustractions (de gauche à droite)

Exemple :

\(3 + 2 \times 5 = 3 + 10 = 13\)
\(\text{et non } (3+2) \times 5 = 25\)

Règles des signes

  • \((+) \times (+) = +\)
  • \((+) \times (-) = -\)
  • \((-) \times (-) = +\)

Puissances

  • \(a^n = a \times a \times ... \times a\) (\(n\) fois)
  • \(a^0 = 1\) (pour \(a \neq 0\))
  • \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
  • \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
  • \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
  • \((a^m)^n = a^{m \times n}\)

Fractions

  • \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\)
  • \(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\)
  • \(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\)

Exercice 1 : Classer des nombres

facile

Classer les nombres suivants dans les ensembles \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) :

\(7\) ; \(-3\) ; \(\frac{2}{5}\) ; \(\sqrt{5}\) ; \(0\) ; \(-\frac{7}{3}\) ; \(\pi\) ; \(4.5\)

Exercice 2 : Calculs avec priorités

facile

Calculer les expressions suivantes :

a) \(3 + 4 \times 2 - 1\)

b) \((3 + 4) \times (2 - 1)\)

c) \(\frac{3 + 5}{2} + 4 \times 3\)

d) \(2^3 + 3^2\)

Exercice 3 : Calculs de fractions

moyen

Calculer et simplifier :

a) \(\frac{3}{4} + \frac{5}{6}\)

b) \(\frac{7}{3} \times \frac{9}{14}\)

c) \(\frac{2}{5} \div \frac{4}{15}\)

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