Vecteurs

📐 Mathématiques Seconde

Notion de vecteur, opérations, colinéarité.

Les vecteurs

Les vecteurs sont un outil fondamental pour décrire des déplacements, des translations et des relations entre points.

---

1. Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un vecteur $\vec{AB}$ représente le déplacement qui amène du point $$A$$ au point $$B$$ . Il est caractérisé par :

| Caractéristique | Signification | Exemple | |-----------------|---------------|---------| | Direction | La droite sur laquelle il s'aligne | La droite $$(AB)$$ | | Sens | Le « côté » vers lequel on va | De $$A$$ vers $$B$$ | | Norme (longueur) | La distance parcourue | La longueur $$AB$$ |

Différence avec un segment :

Le segment $$[AB]$$ n'a pas de sens (de $$A$$ à $$B$$ ou de $$B$$ à $$A$$ , c'est pareil)
Le vecteur $\vec{AB}$ a un sens : on va de $$A$$ vers $$B$$
$\vec{AB} \neq \vec{BA}$ en général (sens opposé !)

---

2. Vecteurs égaux

Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Conséquence importante : Si $\vec{AB} = \vec{CD}$ , alors $$ABDC$$ est un parallélogramme !

(Attention à l'ordre des lettres : $$ABDC$$ et non $$ABCD$$ )

---

3. Coordonnées d'un vecteur

Si $$A(x_A ; y_A)$$ et $$B(x_B ; y_B)$$ , alors :

\boxed{\vec{AB} = \binom{x_B - x_A}{y_B - y_A}}

Exemple : $$A(1 ; 3)$$ et $$B(4 ; 7)$$

\vec{AB} = \binom{4-1}{7-3} = \binom{3}{4}

Cela signifie : pour aller de $$A$$ à $$B$$ , on se déplace de $$3$$ unités vers la droite et $$4$$ unités vers le haut.

Norme d'un vecteur :

\|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}

Pour notre exemple : $\|\vec{AB}\| = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

---

4. Opérations sur les vecteurs

Somme de deux vecteurs :

\vec{u}\binom{x_1}{y_1} + \vec{v}\binom{x_2}{y_2} = \binom{x_1 + x_2}{y_1 + y_2}

Exemple : $\vec{u}\binom{3}{2}$ et $\vec{v}\binom{-1}{4}$

\vec{u} + \vec{v} = \binom{3+(-1)}{2+4} = \binom{2}{6}

Produit par un scalaire (un nombre) :

k \cdot \vec{u}\binom{x}{y} = \binom{kx}{ky}

Exemple : $3 \cdot \vec{u}\binom{2}{-1} = \binom{6}{-3}$

---

5. La relation de Chasles

C'est la propriété la plus utilisée avec les vecteurs :

\boxed{\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}}

En mots : Aller de $$A$$ à $$B$$ , puis de $$B$$ à $$C$$ , revient à aller directement de $$A$$ à $$C$$ .

Application : $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AD}$ (on « enchaîne » les vecteurs)

Cas particulier utile : $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AA} = \vec{0}$ (le vecteur nul)

---

6. Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x'}{y'}$ sont colinéaires si et seulement si :

\boxed{xy' - yx' = 0}

Ce que ça signifie géométriquement :

Vecteurs colinéaires = même direction (parallèles)
Si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires alors $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ sont alignés

Exemple :

\vec{u}\binom{2}{3}

\vec{v}\binom{4}{6}

2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0

→ colinéaires ✓ (En effet,

\vec{v} = 2\vec{u}

)

Contre-exemple : $\vec{u}\binom{1}{2}$ et $\vec{v}\binom{3}{4}$ $1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2 \neq 0$ → non colinéaires

Exercice 1 : Calculs avec les vecteurs

moyen

Soit $$A(1 ; 2)$$ , $$B(4 ; 6)$$ , $$C(-1 ; 5)$$ .

a) Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .

b) Calculer $\vec{AB} + \vec{AC}$ .

c) Calculer $2\vec{AB} - \vec{AC}$ .

d) Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont-ils colinéaires ?

Exercice 2 : Parallélogramme

moyen

Soit $$A(1 ; 1)$$ , $$B(4 ; 2)$$ , $$C(5 ; 5)$$ .

a) Déterminer le point $$D$$ tel que $$ABCD$$ soit un parallélogramme.

b) Vérifier que $\vec{AB} = \vec{DC}$ .

c) Calculer les coordonnées du milieu de $$[AC]$$ et du milieu de $$[BD]$$ . Que constatez-vous ?

Exercice 3 : Colinéarité et alignement

facile

Soit $$A(2 ; 1)$$ , $$B(5 ; 4)$$ , $$C(11 ; 10)$$ .

a) Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .

b) Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont-ils colinéaires ?

c) Que peut-on en déduire pour les points $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ ?

Exercice 4 : Translation

moyen

Soit le triangle $$ABC$$ avec $$A(1 ; 3)$$ , $$B(4 ; 1)$$ , $$C(2 ; 5)$$ et le vecteur $\vec{u} = \binom{3}{-2}$ .

a) Déterminer les images $$A'$$ , $$B'$$ , $$C'$$ de $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ .

b) Vérifier que $\vec{AA'} = \vec{BB'} = \vec{CC'} = \vec{u}$ .

c) Le triangle $$A'B'C'$$ a-t-il la même forme que $$ABC$$ ?

Exercice 5 : Relation de Chasles

moyen

Soit $$A(0 ; 0)$$ , $$B(3 ; 2)$$ , $$C(1 ; 4)$$ , $$D(5 ; 1)$$ .

a) Calculer $\vec{AB} + \vec{BC}$ . Comparer avec $\vec{AC}$ (relation de Chasles).

b) Calculer $\vec{AB} + \vec{CD}$ .

c) Simplifier : $\vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BN}$ (sans coordonnées).

Exercice 6 : Milieu et vecteurs

difficile

Soit $$A(2 ; 6)$$ et $$B(8 ; 2)$$ . Le point $$I$$ est le milieu de $$[AB]$$ .

a) Calculer les coordonnées de $$I$$ .

b) Vérifier que $\vec{AI} = \vec{IB}$ .

c) Soit $$G$$ le point tel que $\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AB}$ . Calculer les coordonnées de $$G$$ .

d) Montrer que $$G$$ partage $$[AB]$$ dans le rapport $\frac{2}{3}$ .

QCM - Vecteurs

Testez vos connaissances sur les vecteurs, leurs coordonnées, les opérations et la colinéarité.

Temps limité : 15 minutes

Commencer le QCM

Aucun contrôle disponible pour ce chapitre.