Fonctions : généralités

📐 Mathématiques Seconde

Notion de fonction, courbe représentative, variations.

Notion de fonction

1. Qu'est-ce qu'une fonction ?

Imagine une machine : tu mets un nombre dedans, elle fait un calcul, et elle te donne un résultat. C'est exactement ça, une fonction !

Une fonction $$f$$ est un procédé qui, à chaque nombre $$x$$ , associe un unique nombre noté $$f(x)$$ .

On écrit : $f : x \mapsto f(x)$

Exemple concret : La fonction $$f(x) = 2x + 3$$

Tu entres $$x = 1$$ → la machine calcule $2 \times 1 + 3 = 5$ → elle donne $$f(1) = 5$$
Tu entres $$x = 4$$ → elle calcule $2 \times 4 + 3 = 11$ → $$f(4) = 11$$
Tu entres $$x = -2$$ → elle calcule $2 \times (-2) + 3 = -1$ → $$f(-2) = -1$$

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2. Vocabulaire essentiel

| Terme | Définition | Exemple avec $$f(x) = 2x + 3$$ | |-------|-----------|------| | Image | Le résultat obtenu : $$f(x)$$ | L'image de $$4$$ est $$f(4) = 11$$ | | Antécédent | Le nombre de départ $$x$$ | L'antécédent de $$11$$ est $$4$$ | | Ensemble de définition $$D_f$$ | Les valeurs de $$x$$ « autorisées » | Ici $D_f = \mathbb{R}$ (tout nombre marche) |

Attention à ne pas confondre :

Image → on part de $$x$$ et on calcule $$f(x)$$ (facile, on remplace)
Antécédent → on connaît $$f(x)$$ et on cherche $$x$$ (il faut résoudre une équation !)

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3. Calculer une image (facile !)

C'est simple : on remplace $$x$$ par la valeur donnée.

Exemple : $$f(x) = x^2 - 3x + 1$$

Calculer $$f(2)$$ :

f(2) = 2^2 - 3 \times 2 + 1 = 4 - 6 + 1 = -1

Calculer $$f(-1)$$ :

f(-1) = (-1)^2 - 3 \times (-1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5

⚠️ Attention aux signes quand on remplace par un nombre négatif !

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4. Trouver un antécédent (on résout une équation)

On cherche le $$x$$ tel que $$f(x) =$$ une valeur donnée.

Exemple : $$f(x) = 3x - 5$$ . Trouver les antécédents de $$7$$ .

On résout $$f(x) = 7$$ :

\(3x - 5 = 7\)

\(3x = 12\)

\(x = 4\)

L'antécédent de $$7$$ par $$f$$ est $$4$$ .

Remarque : Un nombre peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents !

$$f(x) = x^2$$ : le nombre $$4$$ a deux antécédents : $$x = 2$$ et $$x = -2$$
$$f(x) = x^2$$ : le nombre $$-1$$ n'a aucun antécédent (un carré est toujours $\geq 0$ )

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5. Lire une fonction sur un graphique

La courbe représentative de $$f$$ est l'ensemble des points $$M(x ; f(x))$$ .

Pour lire une image (on connaît $$x$$ , on cherche $$f(x)$$ ) : 1. On se place sur $$x$$ sur l'axe horizontal 2. On monte (ou descend) jusqu'à la courbe 3. On lit la valeur sur l'axe vertical → c'est $$f(x)$$

Pour lire un antécédent (on connaît $$f(x)$$ , on cherche $$x$$ ) : 1. On se place sur la valeur $$f(x)$$ sur l'axe vertical 2. On trace une horizontale jusqu'à la courbe 3. On descend sur l'axe horizontal → ce sont les antécédents

Astuce : Sur un graphique, lire $$f(3)$$ revient à chercher l'ordonnée du point de la courbe ayant pour abscisse $$3$$ .

Variations d'une fonction

1. Qu'est-ce que les variations ?

Les variations décrivent le comportement d'une fonction : est-ce qu'elle monte, descend, ou reste constante ?

Intuitivement :

Si la courbe monte quand on va vers la droite → la fonction est croissante
Si la courbe descend quand on va vers la droite → la fonction est décroissante

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2. Définitions précises

Soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle $$I$$ .

$$f$$ est croissante sur $$I$$ si :

\text{Pour tous } a, b \in I : \quad a < b \Rightarrow f(a) \leq f(b)

En mots : Quand $$x$$ augmente, $$f(x)$$ augmente aussi (ou reste pareil).

$$f$$ est décroissante sur $$I$$ si :

\text{Pour tous } a, b \in I : \quad a < b \Rightarrow f(a) \geq f(b)

En mots : Quand $$x$$ augmente, $$f(x)$$ diminue (ou reste pareil).

$$f$$ est strictement croissante si $a < b \Rightarrow f(a) < f(b)$ (inégalité stricte).

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3. Le tableau de variations

Un tableau de variations résume en un coup d'œil sur quels intervalles la fonction monte ou descend, et quels sont les extremums.

Comment le lire :

Une flèche qui monte ( $\nearrow$ ) = la fonction est croissante
Une flèche qui descend ( $\searrow$ ) = la fonction est décroissante
Les valeurs en haut sont des maximums
Les valeurs en bas sont des minimums

Exemple : La fonction

\(f(x) = x^2\)

| $$x$$ | $-\infty$ | | $$0$$ | | $+\infty$ | |-----|:---------:|:-:|:---:|:-:|:---------:| | $$f(x)$$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $$0$$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |

Cela signifie :

$$f$$ est décroissante sur $]-\infty ; 0]$
$$f$$ est croissante sur $[0 ; +\infty[$
$$f$$ admet un minimum en $$x = 0$$ , qui vaut $$f(0) = 0$$

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4. Maximum et minimum

Maximum : $$f$$ admet un maximum $$M$$ s'il existe un $$c$$ tel que $$f(c) = M$$ et pour tout $$x$$ , $f(x) \leq M$ .

Minimum : $$f$$ admet un minimum $$m$$ s'il existe un $$c$$ tel que $$f(c) = m$$ et pour tout $$x$$ , $f(x) \geq m$ .

Exemples concrets :

$$f(x) = x^2$$ admet un minimum en $$x = 0$$ qui vaut $$0$$ . Elle n'a pas de maximum.
$$f(x) = -x^2 + 4$$ admet un maximum en $$x = 0$$ qui vaut $$4$$ . Elle n'a pas de minimum.

⚠️ Attention : On ne peut parler de croissance/décroissance que sur un intervalle, pas sur des points isolés !

Exercice 1 : Images et antécédents

facile

Soit $$f(x) = 3x - 5$$ .

a) Calculer $$f(0)$$ , $$f(2)$$ et $$f(-1)$$ .

b) Déterminer l'antécédent de $$7$$ par $$f$$ .

c) Résoudre $$f(x) = 0$$ .

d) Déterminer l'antécédent de $$-11$$ .

Exercice 2 : Lecture graphique de fonctions

moyen

La courbe d'une fonction $$f$$ passe par les points $$A(0 ; 3)$$ , $$B(2 ; 7)$$ , $$C(4 ; 7)$$ , $$D(6 ; 1)$$ .

a) Que vaut $$f(0)$$ ? $$f(2)$$ ? $$f(6)$$ ?

b) Quel(s) est (sont) le(s) antécédent(s) de $$7$$ ?

c) $$f$$ admet-elle un maximum ? Si oui, lequel ?

d) $$f$$ est-elle croissante sur $$[0 ; 4]$$ ?

Exercice 3 : Tableau de variations

moyen

Soit $$g$$ une fonction définie sur $$[-3 ; 5]$$ telle que :

$$g(-3) = 2$$
$$g$$ est croissante sur $$[-3 ; 1]$$
$$g(1) = 6$$
$$g$$ est décroissante sur $$[1 ; 5]$$
$$g(5) = -1$$

a) Dresser le tableau de variations de

\(g\)

b) Quel est le maximum de $$g$$ ? Pour quelle valeur de $$x$$ ?

c) A-t-on $$g(0) > g(-2)$$ ? Justifier.

d) Peut-on comparer $$g(-1)$$ et $$g(3)$$ ?

Exercice 4 : Fonctions et expressions algébriques

moyen

Soit $$h(x) = x^2 - 4x + 3$$ .

a) Calculer $$h(0)$$ , $$h(1)$$ , $$h(2)$$ , $$h(3)$$ , $$h(4)$$ .

b) Résoudre $$h(x) = 0$$ .

c) Résoudre $$h(x) = 3$$ .

d) La fonction $$h$$ est-elle croissante sur $$[0 ; 4]$$ ? Justifier avec les valeurs calculées.

Exercice 5 : Résolution graphique d'équations

moyen

Soit $$f(x) = 2x + 1$$ et $$g(x) = -x + 7$$ .

a) Calculer $$f(0)$$ , $$f(3)$$ , $$g(0)$$ et $$g(3)$$ .

b) Résoudre $$f(x) = g(x)$$ algébriquement.

c) Pour quelles valeurs de $$x$$ a-t-on $$f(x) > g(x)$$ ?

d) Que représentent graphiquement les réponses aux questions b) et c) ?

Exercice 6 : Ensemble de définition

difficile

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :

a) $f(x) = \frac{3}{x - 2}$

b) $g(x) = \sqrt{x + 5}$

c) $h(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$

d) $k(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 1}$

QCM - Fonctions : généralités

Testez vos connaissances sur la notion de fonction, les images, les antécédents et les variations.

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