Fonctions : généralités

Notion de fonction

Définition

Une fonction \(f\) est un procédé qui, à un nombre \(x\), associe un unique nombre noté \(f(x)\).

On écrit : \(f : x \mapsto f(x)\)

Vocabulaire :

• \(x\) est l'antécédent
• \(f(x)\) est l'image de \(x\) par \(f\)
• L'ensemble de définition \(D_f\) est l'ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) existe

Exemple

\(f(x) = 2x + 3\)

• L'image de \(4\) par \(f\) est : \(f(4) = 2 \times 4 + 3 = 11\)
• Les antécédents de \(7\) sont les \(x\) tels que \(f(x) = 7\), donc \(2x + 3 = 7 \Rightarrow x = 2\)

Courbe représentative

La courbe représentative de \(f\) est l'ensemble des points \(M(x ; f(x))\) du plan.

• Lire \(f(x)\) = chercher l'ordonnée pour une abscisse donnée
• Trouver un antécédent = chercher l'abscisse pour une ordonnée donnée

Variations d'une fonction

Définitions

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).

\(f\) est croissante sur \(I\) si, pour tous \(a\) et \(b\) dans \(I\) :

\(f\) est décroissante sur \(I\) si, pour tous \(a\) et \(b\) dans \(I\) :

Tableau de variations

Un tableau de variations résume les intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que les extremums (maximum et minimum).

Maximum et minimum

• \(f\) admet un maximum \(M\) sur \(I\) s'il existe \(c \in I\) tel que pour tout \(x \in I\), \(f(x) \leq f(c) = M\)
• \(f\) admet un minimum \(m\) sur \(I\) s'il existe \(c \in I\) tel que pour tout \(x \in I\), \(f(x) \geq f(c) = m\)