Division

Comprendre la division

La division, c'est partager en parts égales ou chercher combien de fois un nombre est contenu dans un autre.

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1. Vocabulaire

Dans la division \(47 \div 6\) :

• 47 est le dividende (ce qu'on partage)
• 6 est le diviseur (en combien de parts)
• Le résultat a deux parties :

- Le quotient : combien de parts complètes - Le reste : ce qu'il reste après le partage

Ici : quotient = 7, reste = 5.

Règle importante : Le reste est toujours plus petit que le diviseur.

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2. Division exacte et division avec reste

Division exacte : quand le reste est 0.

car \(36 = 9 \times 4 + 0\)

Division avec reste :

car \(50 = 7 \times 7 + 1\)

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3. Lien entre multiplication et division

La division, c'est la multiplication à l'envers !

Si \(8 \times 6 = 48\), alors :

• \(48 \div 6 = 8\)
• \(48 \div 8 = 6\)

Astuce : Pour diviser, cherche dans tes tables de multiplication !

\(56 \div 7 = ?\) → Dans la table de 7 : \(7 \times 8 = 56\) → donc \(56 \div 7 = 8\)

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4. Critères de divisibilité

| Divisible par | Critère | Exemple | |:-:|---|---| | 2 | Le dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8) | \(246\) est divisible par 2 | | 5 | Le dernier chiffre est 0 ou 5 | \(135\) est divisible par 5 | | 10 | Le dernier chiffre est 0 | \(470\) est divisible par 10 | | 3 | La somme des chiffres est divisible par 3 | \(123\) : \(1+2+3=6\), divisible par 3 ✓ | | 9 | La somme des chiffres est divisible par 9 | \(738\) : \(7+3+8=18\), divisible par 9 ✓ |

Poser une division

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1. La technique de la division posée

Pour diviser \(8\,574\) par \(6\) :

` 8 574 | 6 -6 |------ 2 5 | 1 429 -2 4 | 17 | -12 | 54 | -54 | 0 | `

Méthode étape par étape :

1. 8 ÷ 6 = 1, reste 2 (car \(6 \times 1 = 6\), \(8 - 6 = 2\)) 2. On abaisse le 5 → 25 ÷ 6 = 4, reste 1 (car \(6 \times 4 = 24\), \(25 - 24 = 1\)) 3. On abaisse le 7 → 17 ÷ 6 = 2, reste 5 (car \(6 \times 2 = 12\), \(17 - 12 = 5\)) 4. On abaisse le 4 → 54 ÷ 6 = 9, reste 0 (car \(6 \times 9 = 54\))

Résultat : \(8\,574 \div 6 = 1\,429\)

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2. Vérification

Pour vérifier : quotient × diviseur + reste = dividende

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3. Division avec un reste

Exemple : \(857 \div 4\)

` 857 | 4 -8 |------ 05 | 214 -4 | 17 | -16 | 1 | ← reste `

\(857 = 4 \times 214 + 1\)

Vérification : \(4 \times 214 + 1 = 856 + 1 = 857\) ✓

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4. Astuces pour aller plus vite

• Diviser par 2 = chercher la moitié
• Diviser par 4 = diviser par 2, puis encore par 2
• Diviser par 5 = diviser par 10, puis multiplier par 2

Exemples :

• \(84 \div 2 = 42\) (moitié de 84)
• \(120 \div 4 = 60 \div 2 = 30\)
• \(350 \div 5 = 35 \times 2 = 70\)