Les nombres décimaux

Découvrir les nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre qui a une virgule. La partie après la virgule représente un morceau d'unité.

---

1. La virgule et ses positions

| Position | Nom | Valeur | |:-:|---|:-:| | À gauche de la virgule | partie entière | unités, dizaines, centaines... | | 1er chiffre après la virgule | dixièmes | \(\frac{1}{10} = 0{,}1\) | | 2e chiffre après la virgule | centièmes | \(\frac{1}{100} = 0{,}01\) |

Exemple : \(7{,}35\)

• 7 = partie entière (7 unités)
• 3 = 3 dixièmes (\(\frac{3}{10}\))
• 5 = 5 centièmes (\(\frac{5}{100}\))

---

2. Lien avec les fractions

Les décimaux sont des fractions décimales (dénominateur 10, 100, 1000...) :

| Fraction | Décimal | |:-:|:-:| | \(\frac{1}{10}\) | \(0{,}1\) | | \(\frac{7}{10}\) | \(0{,}7\) | | \(\frac{1}{100}\) | \(0{,}01\) | | \(\frac{35}{100}\) | \(0{,}35\) | | \(\frac{125}{100}\) | \(1{,}25\) |

Exemples :

• \(\frac{3}{10} = 0{,}3\) (trois dixièmes)
• \(\frac{45}{100} = 0{,}45\) (quarante-cinq centièmes)
• \(2\frac{7}{10} = 2{,}7\)

3. Les zéros « inutiles »

\(2{,}50 = 2{,}5\) → Le zéro à la fin ne change rien.

Mais attention : \(2{,}05 \neq 2{,}5\) → Le zéro au milieu est important !

Règle : On peut enlever les zéros à la fin de la partie décimale, mais jamais au milieu.

---

4. Tableau de numération avec décimaux

| Centaines | Dizaines | Unités | , | Dixièmes | Centièmes | |:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| | 100 | 10 | 1 | , | 0,1 | 0,01 |

Exemple : Placer \(45{,}08\)

| | 4 | 5 | , | 0 | 8 | |:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| | | D | U | , | d | c |

\(45{,}08 = 4 \times 10 + 5 \times 1 + 0 \times 0{,}1 + 8 \times 0{,}01\)

Comparer et ranger les nombres décimaux

---

1. Comparer deux nombres décimaux

Méthode :

Étape 1 : Comparer les parties entières. Si elles sont différentes, le nombre avec la plus grande partie entière est le plus grand.

\(12{,}8 > 9{,}99\) car \(12 > 9\)

Étape 2 : Si les parties entières sont égales, comparer les dixièmes.

\(3{,}7 > 3{,}4\) car \(7 > 4\) (dixièmes)

Étape 3 : Si les dixièmes sont égaux aussi, comparer les centièmes.

\(5{,}43 < 5{,}47\) car \(3 < 7\) (centièmes)

---

2. Attention au piège !

⚠️ \(3{,}8\) est plus grand que \(3{,}12\) !

Pourquoi ? Parce que \(3{,}8 = 3{,}80\) et \(80\) centièmes \(> 12\) centièmes.

Astuce : Pour comparer, ajoute des zéros pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule :

---

3. Placer des décimaux sur une droite

Pour placer \(2{,}7\) sur une droite graduée : 1. On cherche entre quels entiers il se trouve : \(2 < 2{,}7 < 3\) 2. On divise le segment \([2 ; 3]\) en 10 parts égales 3. On avance de 7 graduations depuis 2

---

4. Encadrer un décimal

Encadrer à l'unité : \(4 < 4{,}35 < 5\)

Encadrer au dixième : \(4{,}3 < 4{,}35 < 4{,}4\)

---

5. Ranger des décimaux

Exemple : Ranger dans l'ordre croissant : \(3{,}5\) ; \(3{,}05\) ; \(3{,}55\) ; \(3{,}15\)

On écrit avec 2 chiffres après la virgule : \(3{,}50\) ; \(3{,}05\) ; \(3{,}55\) ; \(3{,}15\)

Ordre : \(3{,}05 < 3{,}15 < 3{,}50 < 3{,}55\)