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Fonctions affines

📐 MathĂ©matiques Seconde

Fonctions linéaires et affines, droites.

Fonctions affines et linéaires

Fonctions affines

Les fonctions affines sont les fonctions les plus simples. Leur courbe est toujours une droite. C'est le premier type de fonction qu'il faut maĂźtriser parfaitement.

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1. DĂ©finition

Une fonction affine est une fonction de la forme :

\(\boxed{f(x) = mx + p}\)

oĂč :

  • \(m\) est le coefficient directeur (ou pente) → il indique si la droite monte ou descend et Ă  quelle vitesse
  • \(p\) est l'ordonnĂ©e Ă  l'origine → c'est la valeur de \(f(0)\), le point oĂč la droite coupe l'axe des ordonnĂ©es
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2. Cas particuliers importants

| Condition | Nom | Exemple | Particularité | |-----------|-----|---------|---------------| | \(p = 0\) | Fonction linéaire | \(f(x) = 3x\) | La droite passe par l'origine \(O(0;0)\) | | \(m = 0\) | Fonction constante | \(f(x) = 5\) | Droite horizontale | | \(m = 1, p = 0\) | Fonction identité | \(f(x) = x\) | La « diagonale » |

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3. Sens de variation (la pente)

Le coefficient directeur \(m\) détermine le sens de la droite :

| Signe de \(m\) | Variation | La droite... | Exemple | |:------------:|-----------|-------------|---------| | \(m > 0\) | Croissante | monte ↗ | \(f(x) = 2x + 1\) | | \(m < 0\) | DĂ©croissante | descend ↘ | \(f(x) = -x + 3\) | | \(m = 0\) | Constante | est horizontale → | \(f(x) = 4\) |

Plus \(|m|\) est grand, plus la droite est « raide » (pentue). Par exemple \(f(x) = 5x\) monte beaucoup plus vite que \(f(x) = 0.5x\).

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4. Comment tracer une droite affine ?

MĂ©thode rapide : 2 points suffisent pour tracer une droite.

Exemple : Tracer \(f(x) = 2x - 1\)

1. On calcule \(f(0) = 2(0) - 1 = -1\) → Point \(A(0 ; -1)\) 2. On calcule \(f(2) = 2(2) - 1 = 3\) → Point \(B(2 ; 3)\) 3. On place \(A\) et \(B\) et on trace la droite passant par ces deux points.

Méthode avec la pente : 1. Placer le point \((0 ; p)\) sur l'axe des ordonnées 2. Depuis ce point : avancer de \(1\) vers la droite et monter de \(m\) vers le haut 3. Relier les deux points par une droite

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5. DĂ©terminer \(m\) et \(p\) Ă  partir de deux points

Si la droite passe par \(A(x_A ; y_A)\) et \(B(x_B ; y_B)\) :

\(\boxed{m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}}\)

Puis on trouve \(p\) en utilisant un des points : \(p = y_A - m \times x_A\)

Exemple complet : La droite passe par \(A(1; 3)\) et \(B(4; 9)\).

Étape 1 : Calcul de \(m\) :

\(m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2\)

Étape 2 : Calcul de \(p\) (avec le point \(A\)) :

\(p = 3 - 2 \times 1 = 3 - 2 = 1\)

RĂ©sultat : \(f(x) = 2x + 1\)

VĂ©rification avec le point \(B\) : \(f(4) = 2(4) + 1 = 9\) ✓

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6. Équation d'une droite et position relative

Deux droites parallĂšles ont le mĂȘme coefficient directeur \(m\).

\(f(x) = 3x + 1\) et \(g(x) = 3x - 5\) sont parallĂšles (toutes deux de pente \(3\)).

Intersection de deux droites : On résout \(f(x) = g(x)\).

Exemple : \(f(x) = 2x + 1\) et \(g(x) = -x + 7\)

\(2x + 1 = -x + 7\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(f(2) = 5\)
Les droites se coupent au point \((2 ; 5)\).

Exercice 1 : DĂ©terminer une fonction affine

moyen

a) DĂ©terminer la fonction affine \(f\) telle que \(f(2) = 7\) et \(f(5) = 16\).

b) Sa droite coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Si oui, en quel point ?

c) Tracer cette droite dans un repĂšre.

Exercice 2 : Parallélisme et intersection

moyen

Soit \(f(x) = 2x - 3\) et \(g(x) = -x + 6\).

a) Ces droites sont-elles parallĂšles ? Pourquoi ?

b) DĂ©terminer leur point d'intersection.

c) DĂ©terminer la fonction affine \(h\) parallĂšle Ă  \(f\) passant par le point \((1 ; 5)\).

Exercice 3 : Sens de variation d'une fonction affine

facile

Pour chaque fonction, indiquer si elle est croissante ou décroissante, puis calculer \(f(0)\) et le zéro de la fonction :

a) \(f(x) = -4x + 8\)

b) \(g(x) = \frac{3}{2}x - 6\)

c) \(h(x) = -0{,}5x + 1\)

Exercice 4 : Fonctions linéaires et proportionnalité

facile

Un robinet remplit une piscine Ă  raison de \(200\) litres par heure.

a) Exprimer le volume \(V\) d'eau (en litres) en fonction du temps \(t\) (en heures).

b) Quelle est la nature de cette fonction ?

c) Combien de temps faut-il pour remplir \(1500\) litres ?

d) La piscine contient \(6000\) litres. Combien de temps pour la remplir ?

Exercice 5 : Tableau de signes d'une fonction affine

moyen

Dresser le tableau de signes des fonctions affines suivantes :

a) \(f(x) = 2x - 6\)

b) \(g(x) = -3x + 9\)

c) \(h(x) = 4x + 2\)

Puis résoudre \(f(x) \geq g(x)\).

Exercice 6 : ProblÚme de seuil de rentabilité

moyen

Une entreprise fabrique des objets. Le coĂ»t total de production de \(x\) objets est \(C(x) = 5x + 200\) (en euros). Chaque objet est vendu \(12\) €.

a) Exprimer la recette \(R(x)\) en fonction de \(x\).

b) Exprimer le bénéfice \(B(x) = R(x) - C(x)\).

c) À partir de combien d'objets vendus l'entreprise est-elle rentable ?

d) Quel est le bénéfice pour \(50\) objets vendus ?

QCM - Fonctions affines

Testez vos connaissances sur les fonctions affines et linéaires, coefficients directeurs et ordonnées à l'origine.

Temps limité : 15 minutes

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