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Statistiques

📐 Mathématiques Seconde

Moyenne, médiane, écart-type, diagrammes.

Indicateurs statistiques

Statistiques descriptives

Les statistiques permettent de résumer et analyser un ensemble de données. On utilise des indicateurs pour décrire le « centre » et la « dispersion » d'une série.

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1. Vocabulaire de base

  • Population : l'ensemble des individus étudiés (ex : les élèves d'une classe)
  • Caractère : ce qu'on observe (ex : la note à un contrôle)
  • Effectif \(n_i\) : le nombre de fois qu'une valeur apparaît
  • Effectif total \(N\) : le nombre total d'individus
  • Fréquence : \(f_i = \frac{n_i}{N}\) (souvent en pourcentage : \(f_i \times 100\))
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2. La moyenne \(\bar{x}\)

La moyenne est l'indicateur le plus connu. Elle donne le « centre de gravité » des données.

\(\boxed{\bar{x} = \frac{x_1 \cdot n_1 + x_2 \cdot n_2 + ... + x_k \cdot n_k}{N} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{N}}\)

Exemple concret : Les notes de 10 élèves à un contrôle : \(8, 10, 12, 12, 14, 14, 14, 15, 16, 18\)

\(\bar{x} = \frac{8 + 10 + 12 + 12 + 14 + 14 + 14 + 15 + 16 + 18}{10} = \frac{133}{10} = 13.3\)

Avec un tableau d'effectifs :

| Note \(x_i\) | 8 | 10 | 12 | 14 | 15 | 16 | 18 | |:-----------:|:-:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:|:--:| | Effectif \(n_i\) | 1 | 1 | 2 | 3 | 1 | 1 | 1 |

\(\bar{x} = \frac{8 \times 1 + 10 \times 1 + 12 \times 2 + 14 \times 3 + 15 \times 1 + 16 \times 1 + 18 \times 1}{10} = \frac{133}{10} = 13.3\)

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3. La médiane \(Me\)

La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés égales : 50% des valeurs sont en dessous, 50% au-dessus.

Comment la trouver :

Cas 1 : \(N\) est impair La médiane est la valeur de rang \(\frac{N+1}{2}\).

Exemple : 9 valeurs → médiane = valeur de rang \(\frac{10}{2} = 5\) (la 5ème valeur).

Cas 2 : \(N\) est pair La médiane est la moyenne des valeurs de rang \(\frac{N}{2}\) et \(\frac{N}{2}+1\).

Exemple : Nos 10 notes ordonnées : \(8, 10, 12, 12, \underbrace{14, 14}_{\text{rangs 5 et 6}}, 14, 15, 16, 18\)

\(Me = \frac{14 + 14}{2} = 14\)

Différence entre moyenne et médiane : La médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes. Si on remplace le \(18\) par \(100\), la moyenne change beaucoup (\(\bar{x} = 21.5\)) mais la médiane reste \(14\).

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4. Les quartiles \(Q_1\) et \(Q_3\)

Les quartiles divisent la série en 4 parties de même effectif.

  • \(Q_1\) (premier quartile) : au moins 25% des valeurs sont \(\leq Q_1\)
  • \(Q_3\) (troisième quartile) : au moins 75% des valeurs sont \(\leq Q_3\)
  • Écart interquartile : \(Q_3 - Q_1\)
L'écart interquartile mesure la dispersion : plus il est petit, plus les données sont regroupées.

Exemple : Pour nos 10 notes : \(Q_1\) = valeur de rang \(\frac{10}{4} \approx 3\) → \(Q_1 = 12\) \(Q_3\) = valeur de rang \(\frac{3 \times 10}{4} \approx 8\) → \(Q_3 = 15\) Écart interquartile = \(15 - 12 = 3\)

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5. L'écart-type \(\sigma\)

L'écart-type mesure à quel point les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.

\(\boxed{\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2}}\)

Interprétation :

  • Écart-type petit → les valeurs sont regroupées autour de la moyenne
  • Écart-type grand → les valeurs sont étalées loin de la moyenne
Exemple simplifié : Série A : \(9, 10, 10, 11, 10\) → \(\bar{x} = 10\), \(\sigma \approx 0.63\) (très regroupé) Série B : \(2, 5, 10, 15, 18\) → \(\bar{x} = 10\), \(\sigma \approx 5.83\) (très dispersé)

Les deux séries ont la même moyenne mais des dispersions très différentes !

En pratique : On utilise la calculatrice pour calculer l'écart-type (fonctions STAT).

Exercice 1 : Calculer des statistiques

moyen

Voici les notes obtenues par 12 élèves : \(6, 8, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 18\)

a) Calculer la moyenne.

b) Déterminer la médiane.

c) Déterminer \(Q_1\) et \(Q_3\).

d) Calculer l'écart interquartile. Les notes sont-elles dispersées ?

Exercice 2 : Moyenne pondérée

facile

Un élève a obtenu les notes suivantes avec les coefficients indiqués :

| Matière | Note | Coeff | |---------|------|-------| | Maths | 14 | 5 | | Français | 11 | 4 | | Anglais | 16 | 3 | | SVT | 9 | 2 | | Sport | 18 | 1 |

a) Calculer sa moyenne pondérée.

b) Quelle note aurait-il en maths pour avoir \(13\) de moyenne générale ?

Exercice 3 : Statistiques avec tableau d'effectifs

moyen

Le nombre de livres lus par mois par 30 élèves est donné :

| Livres | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |--------|---|---|---|---|---|---| | Effectif | 3 | 7 | 8 | 6 | 4 | 2 |

a) Calculer la moyenne.

b) Déterminer la médiane.

c) Quel est le mode ?

Exercice 4 : Fréquences et diagrammes

facile

Dans une classe de 25 élèves, les couleurs préférées sont :

  • Bleu : 8 élèves
  • Rouge : 6 élèves
  • Vert : 5 élèves
  • Jaune : 4 élèves
  • Autre : 2 élèves
a) Calculer la fréquence (en %) de chaque couleur.

b) Quel angle (en degrés) correspond à chaque couleur dans un diagramme circulaire ?

c) Quelle est la fréquence cumulée du bleu et du rouge ?

Exercice 5 : Étendue et dispersion

moyen

Deux classes ont passé le même contrôle :

  • Classe A : \(4, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 18\)
  • Classe B : \(9, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13\)
a) Calculer la moyenne de chaque classe.

b) Calculer l'étendue de chaque série.

c) Calculer l'écart interquartile de chaque série.

d) Quelle classe a des résultats plus homogènes ?

Exercice 6 : Statistiques et pourcentages

moyen

Un magasin vend 3 types de téléphones :

  • Modèle A : 120 unités à 200 €
  • Modèle B : 80 unités à 350 €
  • Modèle C : 50 unités à 500 €
a) Combien de téléphones ont été vendus au total ?

b) Calculer le prix moyen d'un téléphone vendu.

c) Quel pourcentage du chiffre d'affaires représente le modèle C ?

QCM - Statistiques

Testez vos connaissances sur la moyenne, la médiane, l'écart-type et les diagrammes statistiques.

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