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Probabilités

📐 Mathématiques Seconde

Expériences aléatoires, probabilités, événements.

Probabilités

Probabilités

Les probabilités permettent de modéliser le hasard et de calculer les chances qu'un événement se produise.

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1. Vocabulaire fondamental

| Terme | Définition | Exemple (lancer d'un dé) | |-------|-----------|--------------------------| | Expérience aléatoire | Expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat | Lancer un dé | | Issue (ou résultat) | Un résultat possible | Obtenir un \(3\) | | Univers \(\Omega\) | Ensemble de toutes les issues | \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) | | Événement | Un sous-ensemble de l'univers | « obtenir un nombre pair » = \(\{2, 4, 6\}\) | | Événement élémentaire | Événement avec une seule issue | « obtenir un \(5\) » = \(\{5\}\) | | Événement certain | Événement qui se réalise toujours | \(\Omega\) | | Événement impossible | Événement qui ne se réalise jamais | \(\emptyset\) (obtenir un \(7\)) |

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2. Qu'est-ce qu'une probabilité ?

La probabilité d'un événement \(A\), notée \(P(A)\), est un nombre entre \(0\) et \(1\) qui mesure la « chance » que \(A\) se réalise.

\(\boxed{0 \leq P(A) \leq 1}\)

| Probabilité | Signification | |:-----------:|---------------| | \(P(A) = 0\) | Impossible (ne se produira jamais) | | \(P(A) = 1\) | Certain (se produira toujours) | | \(P(A) = 0.5\) | Une chance sur deux (50%) | | \(P(\Omega) = 1\) | L'événement certain a une probabilité de \(1\) |

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3. Situation d'équiprobabilité

Quand toutes les issues ont la même probabilité (dé équilibré, pièce non truquée...) :

\(\boxed{P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}}\)

Exemple 1 : On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

  • Issues favorables : \(\{2, 4, 6\}\) → \(3\) issues
  • Issues totales : \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) → \(6\) issues
\(P(\text{pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5 = 50\%\)

Exemple 2 : On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité de tirer un as ?

  • Nombre d'as : \(4\)
  • Nombre total de cartes : \(52\)
\(P(\text{as}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 0.077 \approx 7.7\%\)

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4. L'événement contraire \(\bar{A}\)

L'événement contraire de \(A\) (noté \(\bar{A}\)) est l'événement « \(A\) ne se réalise pas ».

\(\boxed{P(\bar{A}) = 1 - P(A)}\)

C'est très utile quand il est plus facile de calculer \(P(\bar{A})\) que \(P(A)\).

Exemple : Probabilité d'obtenir au moins un 6 en lançant deux dés. Au lieu de lister tous les cas favorables, on calcule le contraire : \(P(\text{aucun 6}) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}\) \(P(\text{au moins un 6}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 30.6\%\)

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5. Réunion et intersection

Événements incompatibles (ou disjoints) : \(A\) et \(B\) ne peuvent pas se produire en même temps (\(A \cap B = \emptyset\)).

Formule pour événements incompatibles :

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

Formule générale (dans tous les cas) :

\(\boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}\)

On soustrait \(P(A \cap B)\) pour ne pas compter deux fois les issues communes.

Exemple : On lance un dé. \(A\) = « obtenir un nombre pair », \(B\) = « obtenir un nombre \(\geq 4\) ». \(A = \{2,4,6\}\), \(B = \{4,5,6\}\), \(A \cap B = \{4,6\}\) \(P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Vérification : \(A \cup B = \{2,4,5,6\}\) → \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) ✓

Exercice 1 : Lancer de dé

facile

On lance un dé équilibré à 6 faces.

a) Quelle est la probabilité d'obtenir un \(6\) ?

b) Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

c) Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre \(\geq 3\) ?

d) Quelle est la probabilité de NE PAS obtenir un \(1\) ?

e) Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair OU un nombre \(\geq 5\) ?

Exercice 2 : Tirage de cartes

moyen

On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes (4 couleurs : cœur, carreau, pique, trèfle. Chaque couleur : As, 2, 3, ..., 10, Valet, Dame, Roi).

a) Combien y a-t-il de cartes de chaque couleur ?

b) Quelle est la probabilité de tirer un cœur ?

c) Quelle est la probabilité de tirer une figure (Valet, Dame ou Roi) ?

d) Quelle est la probabilité de tirer un cœur ET une figure ?

Exercice 3 : Lancer de deux dés

moyen

On lance deux dés équilibrés et on additionne les résultats.

a) Combien d'issues possibles y a-t-il au total ?

b) Quelle est la probabilité d'obtenir une somme de \(7\) ?

c) Quelle est la probabilité d'obtenir un double (les deux dés montrent la même face) ?

d) Quelle est la probabilité d'obtenir une somme \(\geq 10\) ?

Exercice 4 : Arbre de probabilités

moyen

Un sac contient \(3\) boules rouges et \(2\) boules bleues. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on tire une seconde boule.

a) Construire l'arbre de probabilités.

b) Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?

c) Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une boule bleue ?

Exercice 5 : Événements incompatibles

moyen

Dans une classe de 30 élèves, \(18\) aiment les maths, \(12\) aiment le français, et \(5\) aiment les deux matières.

a) Les événements « aimer les maths » et « aimer le français » sont-ils incompatibles ?

b) Combien d'élèves aiment les maths ou le français (ou les deux) ?

c) Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard n'aime ni les maths ni le français ?

Exercice 6 : Fréquence et probabilité

facile

On a lancé une pièce de monnaie \(200\) fois et on a obtenu \(112\) fois « pile ».

a) Quelle est la fréquence de « pile » observée ?

b) Cette pièce semble-t-elle équilibrée ?

c) Si la pièce était parfaitement équilibrée, combien de « pile » obtiendrait-on en théorie sur \(200\) lancers ?

d) Avec \(10000\) lancers, on obtient \(5023\) fois pile. Quelle conclusion tirer ?

QCM - Probabilités

Testez vos connaissances sur les expériences aléatoires, les probabilités et les événements.

Temps limité : 15 minutes

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