Géométrie repérée

📐 Mathématiques Seconde

Coordonnées, milieu, distance, vecteurs.

Coordonnées dans le plan

Géométrie repérée dans le plan

La géométrie repérée (ou analytique) permet de faire de la géométrie avec des calculs. On place les figures dans un repère et on utilise les coordonnées des points.

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1. Le repère du plan

Un repère orthonormé $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$ est constitué de :

Un point $$O$$ appelé origine
Deux axes perpendiculaires : l'axe des abscisses (horizontal) et l'axe des ordonnées (vertical)
Une unité de longueur identique sur les deux axes

Chaque point du plan est repéré par ses coordonnées

\((x ; y)\)

$$x$$ = l'abscisse (position horizontale)
$$y$$ = l'ordonnée (position verticale)

Exemple : Le point

\(A(3 ; 2)\)

est situé à

\(3\)

unités vers la droite et

\(2\)

unités vers le haut depuis l'origine.

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2. Distance entre deux points

La distance entre deux points $$A(x_A ; y_A)$$ et $$B(x_B ; y_B)$$ se calcule grâce au théorème de Pythagore :

\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}

Pourquoi ça marche ? Si on trace un triangle rectangle avec $$A$$ et $$B$$ , les côtés de l'angle droit mesurent $$|x_B - x_A|$$ et $$|y_B - y_A|$$ . Par Pythagore : $$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$$ .

Exemple complet : $$A(1 ; 3)$$ et $$B(5 ; 6)$$

AB = \sqrt{(5-1)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

Astuce : Reconnaissez les triplets pythagoriciens classiques : $$(3, 4, 5)$$ , $$(5, 12, 13)$$ , $$(6, 8, 10)$$ .

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3. Milieu d'un segment

Le milieu $$M$$ du segment $$[AB]$$ se trouve « au milieu » : on fait la moyenne des coordonnées.

\boxed{M\left(\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2}\right)}

Exemple : $$A(1 ; 3)$$ et $$B(5 ; 6)$$

M\left(\frac{1+5}{2} ; \frac{3+6}{2}\right) = M(3 ; 4.5)

Vérification : $$M$$ est bien à égale distance de $$A$$ et $$B$$ : $AM = \sqrt{(3-1)^2 + (4.5-3)^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5$ $BM = \sqrt{(5-3)^2 + (6-4.5)^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5$ ✓

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4. Coordonnées d'un point à partir du milieu

Si $$M$$ est le milieu de $$[AB]$$ , et qu'on connaît $$A$$ et $$M$$ , on peut retrouver $$B$$ :

x_B = 2x_M - x_A \qquad y_B = 2y_M - y_A

Exemple : $$A(1 ; 4)$$ et $$M(3 ; 5)$$ . Trouver $$B$$ . $x_B = 2 \times 3 - 1 = 5$ et $y_B = 2 \times 5 - 4 = 6$ Donc $$B(5 ; 6)$$ .

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5. Alignement de trois points

Trois points $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ sont alignés si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires (voir chapitre sur les vecteurs).

Méthode pratique : $$A(x_A;y_A)$$ , $$B(x_B;y_B)$$ , $$C(x_C;y_C)$$ sont alignés si :

\((x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A) = 0\)

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6. Applications : prouver des propriétés géométriques

Avec les coordonnées, on peut démontrer que :

Un quadrilatère est un parallélogramme (les diagonales ont le même milieu)
Un triangle est isocèle (deux côtés de même longueur)
Un triangle est rectangle (vérifier avec le théorème de Pythagore)
Des points sont alignés

Exercice 1 : Distance et milieu

facile

Soit $$A(2 ; -1)$$ et $$B(6 ; 3)$$ .

a) Calculer la distance $$AB$$ .

b) Déterminer les coordonnées du milieu $$M$$ de $$[AB]$$ .

c) Le point $$C(4 ; 1)$$ est-il le milieu de $$[AB]$$ ?

d) Trouver le point $$D$$ tel que $$B$$ soit le milieu de $$[AD]$$ .

Exercice 2 : Triangle et propriétés

moyen

Soit $$A(0 ; 0)$$ , $$B(4 ; 0)$$ , $$C(2 ; 3)$$ .

a) Calculer $$AB$$ , $$AC$$ et $$BC$$ .

b) Le triangle $$ABC$$ est-il isocèle ?

c) Le triangle $$ABC$$ est-il rectangle ?

Exercice 3 : Alignement de points

moyen

Soit $$A(1 ; 2)$$ , $$B(3 ; 5)$$ , $$C(7 ; 11)$$ .

a) Calculer le coefficient directeur de la droite $$(AB)$$ .

b) Écrire l'équation de la droite $$(AB)$$ .

c) Le point $$C$$ appartient-il à la droite $$(AB)$$ ? Les trois points sont-ils alignés ?

Exercice 4 : Équations de droites

moyen

a) Déterminer l'équation de la droite passant par $$A(2 ; 3)$$ et $$B(5 ; -3)$$ .

b) Déterminer l'équation de la droite passant par $$C(1 ; 4)$$ de pente $$m = 2$$ .

c) Les droites $$y = 2x + 1$$ et $y = -\frac{1}{2}x + 3$ sont-elles perpendiculaires ?

Exercice 5 : Quadrilatère dans un repère

difficile

Soit $$A(0 ; 0)$$ , $$B(6 ; 0)$$ , $$C(8 ; 4)$$ , $$D(2 ; 4)$$ .

a) Calculer les longueurs des quatre côtés.

b) Le quadrilatère $$ABCD$$ est-il un parallélogramme ?

c) Calculer les diagonales $$AC$$ et $$BD$$ .

d) Le quadrilatère est-il un rectangle ?

Exercice 6 : Cercle dans un repère

moyen

Un cercle a pour centre $\Omega(3 ; -1)$ et passe par le point $$A(6 ; 3)$$ .

a) Calculer le rayon du cercle.

b) Le point $$B(0 ; -5)$$ appartient-il au cercle ?

c) Le point $$C(8 ; -1)$$ appartient-il au cercle ?

QCM - Géométrie repérée

Testez vos connaissances sur les coordonnées, distances, milieux et équations de droites dans le plan repéré.

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