Calcul littéral

📐 Mathématiques Seconde

Développer, factoriser, identités remarquables.

Développer et factoriser

Le calcul littéral, c'est faire des calculs avec des lettres (souvent $$x$$ ). C'est l'un des outils les plus importants en maths car il permet de résoudre des problèmes de manière générale.

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1. Qu'est-ce qu'une expression littérale ?

Une expression littérale est un calcul qui contient au moins une lettre. La lettre représente un nombre qu'on ne connaît pas (encore).

Exemples : $$3x + 5$$ , $$x^2 - 4x + 1$$ , $$2(a + b)$$

Vocabulaire important :

$$3x + 5$$ est une somme de deux termes : $$3x$$ et $$5$$
$$3x$$ est un produit : $3 \times x$
Le nombre $$3$$ devant $$x$$ s'appelle le coefficient de $$x$$
Le nombre $$5$$ seul s'appelle la constante

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2. Développer une expression

Développer, c'est transformer un produit en somme. On « ouvre les parenthèses ».

#### Simple distributivité

\boxed{k(a + b) = ka + kb}

\boxed{k(a - b) = ka - kb}

Exemples pas à pas :

$$3(2x + 5)$$ → On multiplie $$3$$ par chaque terme dans la parenthèse :

3(2x + 5) = 3 \times 2x + 3 \times 5 = 6x + 15

$$-2(x - 4)$$ → Attention au signe moins devant !

-2(x - 4) = -2 \times x + (-2) \times (-4) = -2x + 8

⚠️ Piège fréquent : Ne pas oublier de distribuer le signe moins ! $$-(x + 3) = -x - 3$$ (et non $$-x + 3$$ )

#### Double distributivité

Quand on multiplie deux parenthèses entre elles :

\boxed{(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd}

Astuce visuelle : Chaque terme de la première parenthèse « tape la main » à chaque terme de la deuxième.

Exemple pas à pas :

\((x + 3)(x - 2)\)

$= x \times x + x \times (-2) + 3 \times x + 3 \times (-2)

\(= x^2 - 2x + 3x - 6\) \(= x^2 + x - 6\)La dernière étape s'appelle réduire : on regroupe les termes semblables (\(-2x + 3x = x\)).Autre exemple :

(2x - 1)(3x + 4)

\(= 2x \times 3x + 2x \times 4 + (-1) \times 3x + (-1) \times 4\) \(= 6x^2 + 8x - 3x - 4\) \(= 6x^2 + 5x - 4\)---3. Factoriser une expressionFactoriser, c'est l'opération inverse du développement : on transforme une somme en produit.Principe : On cherche un facteur commun à tous les termes.#### Méthode : repérer le facteur commun

\boxed{ka + kb = k(a + b)}

Exemples pas à pas :\(6x + 15\) → Le facteur commun est \(3\) (car \(6 = 3 \times 2\) et \(15 = 3 \times 5\))

6x + 15 = 3 \times 2x + 3 \times 5 = 3(2x + 5)

\(x^2 + 5x\) → Le facteur commun est \(x\)

x^2 + 5x = x \times x + x \times 5 = x(x + 5)

\(4x^2 - 12x\) → Le facteur commun est \(4x\)

4x^2 - 12x = 4x \times x - 4x \times 3 = 4x(x - 3)

Astuce : Pour trouver le facteur commun, cherchez le PGCD des coefficients et la plus petite puissance de \(x\) présente dans tous les termes.---4. Réduire une expressionRéduire, c'est regrouper les termes de même nature (les termes en \(x^2\) ensemble, les termes en \(x\) ensemble, les constantes ensemble).Exemple :

3x^2 + 5x - 2x^2 + 4 - 7x + 1

\(= (3x^2 - 2x^2) + (5x - 7x) + (4 + 1)\) $= x^2 - 2x + 5

Les identités remarquables

Les identités remarquables sont 3 formules à connaître absolument par cœur. Elles servent à développer et factoriser rapidement.

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1. Première identité : le carré d'une somme

\boxed{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}

En mots : Le carré d'une somme = le carré du premier + 2 fois le produit des deux + le carré du deuxième.

Démonstration (pour comprendre) : $$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$$ $= a \times a + a \times b + b \times a + b \times b$ $$= a^2 + ab + ab + b^2$$ $$= a^2 + 2ab + b^2$$ ✓

Exemples d'application :

$$(x + 3)^2$$ → Ici $$a = x$$ et $$b = 3$$ :

= x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9

$$(2x + 5)^2$$ → Ici $$a = 2x$$ et $$b = 5$$ :

= (2x)^2 + 2 \times 2x \times 5 + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25

⚠️ Erreur fréquente : $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ !!! N'oubliez pas le terme $$2ab$$ au milieu !

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2. Deuxième identité : le carré d'une différence

\boxed{(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}

C'est la même chose que la première, mais avec un moins devant le $$2ab$$ .

Exemples :

$$(x - 4)^2$$ → $$a = x$$ , $$b = 4$$ :

= x^2 - 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16

$$(3x - 1)^2$$ → $$a = 3x$$ , $$b = 1$$ :

= (3x)^2 - 2 \times 3x \times 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1

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3. Troisième identité : le produit somme-différence

\boxed{(a + b)(a - b) = a^2 - b^2}

En mots : La somme fois la différence donne la différence des carrés.

Exemples :

$$(x + 5)(x - 5)$$ → $$a = x$$ , $$b = 5$$ :

\(= x^2 - 5^2 = x^2 - 25\)

$$(3x + 2)(3x - 2)$$ → $$a = 3x$$ , $$b = 2$$ :

\(= (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4\)

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4. Factoriser avec les identités remarquables

Les identités marchent aussi dans l'autre sens !

Reconnaître $$a^2 + 2ab + b^2$$ : $$x^2 + 8x + 16$$ → est-ce que $$16$$ est un carré parfait ? Oui : $$16 = 4^2$$ . Et $8x = 2 \times x \times 4$ . Donc :

\(x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2\)

Reconnaître $$a^2 - b^2$$ : $$x^2 - 9$$ → $$9 = 3^2$$ , c'est une différence de deux carrés :

\(x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)\)

$$25x^2 - 1$$ → $$25x^2 = (5x)^2$$ et $$1 = 1^2$$ :

\(25x^2 - 1 = (5x + 1)(5x - 1)\)

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5. Tableau récapitulatif

| Forme développée | Forme factorisée | Identité | |-------------------|------------------|----------| | $$a^2 + 2ab + b^2$$ | $$(a + b)^2$$ | Carré d'une somme | | $$a^2 - 2ab + b^2$$ | $$(a - b)^2$$ | Carré d'une différence | | $$a^2 - b^2$$ | $$(a + b)(a - b)$$ | Produit somme-différence |

Méthode pour les reconnaître : 1. Y a-t-il une différence de deux carrés ? → 3ème identité 2. Y a-t-il un carré parfait au début et à la fin ? → Vérifier si le terme du milieu correspond au double produit → 1ère ou 2ème identité

Exercice 1 : Développer des expressions

moyen

Développer et réduire les expressions suivantes :

a) $$3(x + 4) - 2(x - 1)$$

b) $$(x + 5)^2$$

c) $$(2x - 3)(2x + 3)$$

d) $$(3x + 1)^2 - (3x - 1)^2$$

e) $$(x - 2)(x + 7)$$

Exercice 2 : Factoriser des expressions

moyen

Factoriser les expressions suivantes :

a) $$x^2 - 16$$

b) $$x^2 + 6x + 9$$

c) $$3x^2 - 12x$$

d) $$25x^2 - 30x + 9$$

e) $$49 - 4x^2$$

Exercice 3 : Développer puis factoriser

difficile

a) Développer $$(x + 3)^2 - (x - 1)^2$$ .

b) Factoriser cette expression directement en utilisant $$a^2 - b^2$$ avec $$a = (x+3)$$ et $$b = (x-1)$$ .

c) Vérifier qu'on obtient le même résultat.

Exercice 4 : Expressions avec facteur commun

moyen

Factoriser les expressions suivantes en trouvant le facteur commun :

a) $$5x^2 + 10x$$

b) $$4x^3 - 8x^2 + 12x$$

c) $$(x+1)(x-2) + (x+1)(3x+5)$$

d) $$(2x-3)^2 + (2x-3)(x+4)$$

Exercice 5 : Développements complexes

difficile

Développer et réduire :

a) $$(x+1)^2 - (x-1)^2 + 2x$$

b) $$(3x - 2)^2 + (3x + 2)^2$$

c) $$(x+2)^3$$ (penser à $(x+2)^2 \times (x+2)$ )

Exercice 6 : Calcul littéral et résolution

difficile

Soit $$A = (x-5)(3x+2)$$ et $$B = (x-5)^2$$ .

a) Développer et réduire $$A$$ et $$B$$ .

b) Calculer $$A - B$$ .

c) Factoriser $$A - B$$ .

d) Pour quelle valeur de $$x$$ a-t-on $$A = B$$ ?

QCM - Calcul littéral

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