Équations et inéquations

Résoudre une équation du premier degré

Une équation, c'est une égalité qui contient un nombre inconnu (souvent noté \(x\)). Résoudre l'équation, c'est trouver la ou les valeurs de \(x\) qui rendent l'égalité vraie.

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1. Qu'est-ce qu'une équation ?

L'équation \(3x + 2 = 14\) se lit : « quel nombre \(x\) donne \(14\) quand on le multiplie par \(3\) et qu'on ajoute \(2\) ? »

On peut vérifier : si \(x = 4\), alors \(3 \times 4 + 2 = 14\) ✓ → \(x = 4\) est bien la solution.

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2. Règle fondamentale

On peut transformer une équation à condition de faire la même opération des deux côtés :

| Action | Exemple | |--------|---------| | Ajouter un nombre | \(x - 3 = 7 \Rightarrow x = 7 + 3 = 10\) | | Soustraire un nombre | \(x + 5 = 12 \Rightarrow x = 12 - 5 = 7\) | | Multiplier par un nombre (\(\neq 0\)) | \(\frac{x}{4} = 3 \Rightarrow x = 3 \times 4 = 12\) | | Diviser par un nombre (\(\neq 0\)) | \(5x = 20 \Rightarrow x = \frac{20}{5} = 4\) |

En résumé : quand un terme « passe de l'autre côté du signe \(=\) », il change de signe (ou d'opération).

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3. Méthode pas à pas pour résoudre \(ax + b = cx + d\)

Étape 1 : Regrouper les termes en \(x\) d'un côté (les \(x\) à gauche, par exemple)

Étape 2 : Regrouper les constantes de l'autre côté (les nombres à droite)

Étape 3 : Diviser par le coefficient de \(x\)

Étape 4 : Vérifier en remplaçant dans l'équation de départ

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4. Exemples complets

Exemple 1 : Résoudre \(3x + 7 = x - 5\)

Étape 1 : On met les \(x\) à gauche → \(3x - x = -5 - 7\) Étape 2 : On simplifie → \(2x = -12\) Étape 3 : On divise → \(x = \frac{-12}{2} = -6\)

Vérification : \(3 \times (-6) + 7 = -18 + 7 = -11\) et \((-6) - 5 = -11\) ✓

Exemple 2 : Résoudre \(5(x - 2) = 3x + 4\)

Étape 0 : Développer → \(5x - 10 = 3x + 4\) Étape 1 : \(5x - 3x = 4 + 10\) Étape 2 : \(2x = 14\) Étape 3 : \(x = 7\)

Vérification : \(5(7-2) = 5 \times 5 = 25\) et \(3 \times 7 + 4 = 25\) ✓

Exemple 3 : Résoudre \(\frac{x + 1}{3} = \frac{2x - 1}{4}\)

On « élimine les fractions » en multipliant par le dénominateur commun (\(12\)) :

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5. Cas particuliers

Aucune solution : \(2x + 1 = 2x + 5\) → \(1 = 5\) (impossible !) → L'équation n'a aucune solution. On note \(S = \emptyset\).

Infinité de solutions : \(3(x + 2) = 3x + 6\) → \(3x + 6 = 3x + 6\) (toujours vrai !) → Tout nombre est solution. On note \(S = \mathbb{R}\).

Inéquations du premier degré

Une inéquation ressemble à une équation, mais au lieu du signe \(=\), on a un signe d'inégalité : \(<\), \(>\), \(\leq\) ou \(\geq\).

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1. La règle d'or des inéquations

On résout une inéquation comme une équation, SAUF sur un point crucial :

| Action | Le signe change ? | Exemple | |--------|:-:|---------| | Ajouter / soustraire | Non | \(x - 3 > 5 \Rightarrow x > 8\) | | Multiplier / diviser par un positif | Non | \(2x < 10 \Rightarrow x < 5\) | | Multiplier / diviser par un négatif | OUI ! ⚠️ | \(-3x < 6 \Rightarrow x > -2\) |

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2. Exemples détaillés

Exemple 1 : \(2x + 3 > 7\)

Solution en écriture d'intervalle : \(S = ]2 ; +\infty[\)

Sur la droite des réels : On place un rond vide en \(2\) (car \(2\) n'est pas inclus) et on colorie vers la droite.

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Exemple 2 : \(-3x + 6 \leq 12\)

⚠️ On divise par \(-3\) (négatif !), donc on inverse \(\leq\) en \(\geq\) :

Solution : \(S = [-2 ; +\infty[\)

Sur la droite des réels : On place un rond plein en \(-2\) (car \(-2\) est inclus grâce au \(\geq\)) et on colorie vers la droite.

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Exemple 3 : \(5 - 2x > 3x + 1\)

Solution : \(S = ]-\infty ; \frac{4}{5}[\)

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3. Les intervalles — comment les écrire

| Inégalité | Intervalle | Signification | |-----------|-----------|---------------| | \(x > a\) | \(]a ; +\infty[\) | Tous les \(x\) strictement supérieurs à \(a\) | | \(x \geq a\) | \([a ; +\infty[\) | Tous les \(x\) supérieurs ou égaux à \(a\) | | \(x < a\) | \(]-\infty ; a[\) | Tous les \(x\) strictement inférieurs à \(a\) | | \(x \leq a\) | \(]-\infty ; a]\) | Tous les \(x\) inférieurs ou égaux à \(a\) | | \(a < x < b\) | \(]a ; b[\) | Tous les \(x\) entre \(a\) et \(b\) (exclus) | | \(a \leq x \leq b\) | \([a ; b]\) | Tous les \(x\) entre \(a\) et \(b\) (inclus) |

Astuce : Crochet tourné vers le nombre \([\) ou \(]\) = le nombre est inclus. Crochet tourné vers l'extérieur = le nombre n'est pas inclus. \(+\infty\) et \(-\infty\) ne sont jamais inclus !