Fonctions carré et inverse
Étude des fonctions carré et inverse.
La fonction carré
La fonction carré \(f(x) = x^2\)
La fonction carré est l'une des fonctions de référence les plus importantes. Sa courbe s'appelle une parabole.
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1. Définition et premiers calculs
Ensemble de définition : \(\mathbb{R}\) (on peut mettre n'importe quel nombre au carré)
Calculons quelques images :
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | |-----|:----:|:----:|:----:|:---:|:---:|:---:|:---:| | \(x^2\) | \(9\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) |
Observations importantes :
- \((-3)^2 = 9\) et \(3^2 = 9\) → deux nombres opposés ont le même carré
- \(x^2 \geq 0\) pour tout \(x\) → un carré est toujours positif ou nul
2. Propriétés fondamentales
Propriété 1 : \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\) Un carré est toujours positif ou nul. Le minimum est \(0\), atteint en \(x = 0\).
Propriété 2 : \(f(-x) = f(x)\) (fonction paire) La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Cela signifie que \(f(-3) = f(3) = 9\) : les points \((-3 ; 9)\) et \((3 ; 9)\) sont symétriques.
Propriété 3 : Variations
- \(f\) est décroissante sur \(]-\infty ; 0]\) : quand \(x\) augmente de \(-\infty\) à \(0\), \(x^2\) diminue
- \(f\) est croissante sur \([0 ; +\infty[\) : quand \(x\) augmente de \(0\) à \(+\infty\), \(x^2\) augmente
| \(x\) | \(-\infty\) | | \(0\) | | \(+\infty\) | |-----|:---------:|:-:|:---:|:-:|:---------:| | \(x^2\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
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3. Comparer des carrés
Règle essentielle : La comparaison de \(a^2\) et \(b^2\) dépend du signe de \(a\) et \(b\).
Si \(a\) et \(b\) sont positifs (\(a, b \geq 0\)) :
Si \(a\) et \(b\) sont négatifs (\(a, b \leq 0\)) :
Astuce : Quand les nombres sont négatifs, celui qui est le « plus négatif » a le plus grand carré.
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4. Résoudre \(x^2 = a\)
| Valeur de \(a\) | Solutions | Exemple | |:-------------:|-----------|---------| | \(a > 0\) | \(x = \sqrt{a}\) ou \(x = -\sqrt{a}\) | \(x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\) ou \(x = -3\) | | \(a = 0\) | \(x = 0\) | \(x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\) | | \(a < 0\) | Aucune solution | \(x^2 = -4\) → impossible ! |
⚠️ Ne jamais oublier la solution négative ! \(x^2 = 16\) donne deux solutions : \(x = 4\) ET \(x = -4\).
La fonction inverse
La fonction inverse \(f(x) = \frac{1}{x}\)
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1. Définition
Ensemble de définition : \(D_f = \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
⚠️ On ne peut pas diviser par 0 ! Donc \(x = 0\) est exclu.
Quelques valeurs :
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(-0.5\) | \(0.5\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | |-----|:----:|:----:|:----:|:------:|:-----:|:---:|:---:|:---:| | \(\frac{1}{x}\) | \(-0.25\) | \(-0.5\) | \(-1\) | \(-2\) | \(2\) | \(1\) | \(0.5\) | \(0.25\) |
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2. Propriétés fondamentales
Propriété 1 : \(f(-x) = -f(x)\) (fonction impaire)
Propriété 2 : Signe de \(f(x)\)
- Si \(x > 0\) alors \(\frac{1}{x} > 0\) (même signe que \(x\))
- Si \(x < 0\) alors \(\frac{1}{x} < 0\) (même signe que \(x\))
⚠️ Piège fréquent : On ne peut PAS dire qu'elle est décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) tout entier ! Car son domaine est coupé en deux par \(0\). Exemple : \(f(-1) = -1 < 1 = f(1)\) alors que \(-1 < 1\).
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3. Comparer des inverses
Règle fondamentale : Pour \(a\) et \(b\) de même signe et non nuls :
L'ordre s'inverse !
Exemple : \(2 < 5\) donc \(\frac{1}{2} > \frac{1}{5}\) ✓ (car \(0.5 > 0.2\))
Même chose pour les négatifs :
Exemple : \(-5 < -2 < 0\) donc \(\frac{1}{-5} > \frac{1}{-2}\) ✓ (car \(-0.2 > -0.5\))
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4. La courbe : une hyperbole
La courbe de la fonction inverse est une hyperbole. Elle a deux branches :
- Une branche dans le quart en haut à droite (pour \(x > 0\))
- Une branche dans le quart en bas à gauche (pour \(x < 0\))
- L'axe des abscisses (droite \(y = 0\)) est une asymptote horizontale : la courbe s'en rapproche sans jamais la toucher quand \(x \to \pm\infty\)
- L'axe des ordonnées (droite \(x = 0\)) est une asymptote verticale : la courbe s'en rapproche sans jamais la toucher quand \(x \to 0\)
- Quand \(x\) est très grand, \(\frac{1}{x}\) est très petit (proche de \(0\))
- Quand \(x\) est très petit (proche de \(0\) par la droite), \(\frac{1}{x}\) est très grand
Exercice 1 : Fonction carré
moyena) Comparer sans calculatrice : \(1.5^2\) et \(1.7^2\).
b) Comparer : \((-3.2)^2\) et \((-2.8)^2\).
c) Résoudre \(x^2 = 25\).
d) Résoudre \(x^2 = 7\) (donner les solutions exactes).
e) L'équation \(x^2 = -3\) a-t-elle des solutions ?
Exercice 2 : Fonction inverse
moyena) Comparer \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{1}{7}\) sans calculatrice.
b) Comparer \(\frac{1}{-2}\) et \(\frac{1}{-5}\).
c) Calculer \(f(4)\) et \(f(0.25)\) pour \(f(x) = \frac{1}{x}\). Que remarquez-vous ?
d) Pourquoi dit-on que \(f\) n'est pas décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) ?
Exercice 3 : Résoudre des équations avec carré
moyenRésoudre dans \(\mathbb{R}\) :
a) \(x^2 - 16 = 0\)
b) \(2x^2 = 18\)
c) \((x-3)^2 = 4\)
d) \(x^2 + 5 = 0\)
e) \((2x+1)^2 = 9\)
Exercice 4 : Inéquations avec fonction carré
difficileRésoudre graphiquement ou algébriquement :
a) \(x^2 \leq 9\)
b) \(x^2 > 1\)
c) \(x^2 - 2x \leq 0\) (factoriser d'abord)
Exercice 5 : Hyperbole et asymptotes
moyenSoit \(f(x) = \frac{1}{x}\).
a) Calculer \(f(0{,}1)\), \(f(0{,}01)\), \(f(0{,}001)\). Que se passe-t-il quand \(x\) se rapproche de \(0\) ?
b) Calculer \(f(100)\), \(f(1000)\), \(f(10000)\). Que se passe-t-il quand \(x\) devient très grand ?
c) Que sont les asymptotes de la courbe de \(f\) ?
Exercice 6 : Comparaisons avec les fonctions de référence
difficileSans calculatrice, comparer les nombres suivants en utilisant les propriétés des fonctions carré et inverse :
a) \(\sqrt{3}^2\) et \(\sqrt{5}^2\)
b) \((-\pi)^2\) et \((-3)^2\)
c) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) et \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
d) \((\sqrt{7} - 1)^2\) et \((\sqrt{7} + 1)^2\)
QCM - Fonctions carré et inverse
Testez vos connaissances sur les fonctions carré $x \mapsto x^2$ et inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$.
Temps limité : 15 minutes
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